WWW.OS.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Научные публикации
 


Pages:   || 2 |

«Екатерина Вадимовна БУЛИНСКАЯ профессор кафедры теории вероятностей Московский государственный университет имени ...»

-- [ Страница 1 ] --

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

для математиков

Екатерина Вадимовна БУЛИНСКАЯ

профессор кафедры теории вероятностей

Московский государственный университет имени

М.В.Ломоносова

18 мая 2012 года

Е.В.Булинская Случайные процессы

Е.В.Булинская Случайные процессы

План доклада

История случайных процессов

Цели курса лекций

Семинарские занятия и индивидуальная

работа со студентами

Преподавание теории случайных процессов

в ведущих научных центрах

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Понятие случайного процесса является одним из важнейших не только в современной теории вероятностей, но и в естествознании, инженерном деле, экономике, теории связи и других областях.

Оно позволяет описывать динамику развития изучаемого случайного явления во времени.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Создание и развитие математической теории случайных процессов началось в XX веке1 2 и было связано с трудами А.Н.Колмогорова (1903-1987), А.Я.Хинчина (1894-1959), Е.Е.Слуцкого (1880-1948), Н.Винера (1894-1965), Дж. Дуба (1910-2004), П.Леви (1886-1971), В.Феллера (1906-1970) и многих других ученых.

А.Н.Ширяев "Вероятность -2". МЦНМО, 2004, Очерк истории становления математической теории вероятностей, с. 875-898.

А.В.Булинский "История случайных процессов", сайт кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Случайный процесс – это семейство случайных величин {X (t), t T }, заданных на некотором вероятностном пространстве (, F, P) и некотором промежутке T R.

Точнее говоря, случайный процесс - это действительная функция X = X (, t) двух переменных и t T такая, что X (·, t) является случайной величиной при каждом t T.

Параметр t интерпретируется как время. Таким образом, X (t) представляет собой состояние (исследуемой) "системы" в момент t.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов При фиксированном функция X (, ·) называется траекторией (или реализацией) процесса. Обычно аргумент опускают и пишут X (t).

Разумеется, можно рассматривать случайный процесс, заданный на каком-либо вероятностном пространстве (, F, P) и произвольном параметрическом множестве T.

Если T Rd и d 1, то говорят о случайном поле.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Возможны и дальнейшие обобщения, например, исследуются процессы, у которых величины X (t) принимают значения в абстрактном пространстве S, снабженном -алгеброй B (при каждом t T величина X (t) является F|B-измеримой).

Наряду с термином случайный процесс (определенный на некотором множестве T ) как синоним используется термин случайная функция.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Заметим, что динамика случайных явлений фактически присутствовала и в ряде классических задач, вовлекавших рассмотрение последовательности случайных величин X1, X2,....

Достаточно упомянуть первую предельную теорему теории вероятностей – закон больших чисел, установленный Бернулли3. Трехсотлетие этого закона будет отмечаться в 2013 году.

Я.Бернулли (1654-1705), его закон больших чисел опубликован посмертно в 1713 году.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов

–  –  –

Тем самым "частота" появления "успехов" (т.е.

единиц) сходится в указанном смысле с ростом n к вероятности "успеха" в отдельном испытании.

Развитие этого направления в теории случайных процессов привело к рождению эргодической теории. В этой связи достаточно упомянуть эргодическую теорему Биркгофа – Хинчина и субэргодическую теорему Кингмана – Лиггетта.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Например, с помощью последней теоремы устанавливается теорема Фюрстенберга – Кестена, утверждающая следующее. Пусть X 1, X 2,... – стационарная последовательность d d-матриц с положительными элементами, логарифм которых интегрируем по мере P.

Тогда найдется случайная величина Y такая, что для матричных элементов X 1... X n при всех i, j {1,..., d} имеем n1 log(X 1... X n )i,j Y п.н. и в L1 (, F, P), n.

–  –  –

Стационарность4 означает инвариантность конечномерных распределений указанной последовательности относительно сдвигов в пространстве индексов N.

Выдающийся вклад в эргодическую теорию внесен Я.Г.Синаем и его школой.

Имеется также понятие стационарности в широком смысле, играющее важную роль в нахождении канонических представлений случайных процессов.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Здесь же упомянем интенсивно развивающуюся область изучения случайных операторов и их спектров.

Более того, оказалось, что изучение спектров бесконечных случайных матриц имеет непосредственное отношение к знаменитой гипотезе Римана о нулях -функции.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Имелся ряд импульсов к возникновению нового раздела теории вероятностей.

Считается, что основной из них дала физика.

Напомним, что в 1827 году шотландский ботаник Р.Броун (1773-1858) обнаружил под микроскопом хаотическое движение частиц цветочной пыльцы в воде.

Е.В.Булинская Случайные процессы Рис. 1. Броуновское движение.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Однако природа этого движения, получившего название броуновского, долго оставалась невыясненной.

Только в конце XIX – начале XX века было осознано, что оно представляет собой одно из проявлений теплового движения атомов и молекул вещества.

Оказалось, что для описания процессов такого рода требуются вероятностно-статистические подходы.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Математические и физические модели броуновского движения и более общих процессов диффузии были построены А.Эйнштейном (1879-1955), М.Смолуховским (1872-1917), М.Планком (1858-1847), А.Фоккером (1887-1972), П.Ланжевеном (1872-1946), Н.Винером (1894-1964) и другими учеными.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Интересно отметить, что в диссертации Л.Башелье (1870-1946), написанной в 1900 году под руководством А.Пуанкаре (1854-1912), "La Thorie de la Spculation"(1900) впервые, на 5 e e лет раньше физиков, предложена модель для описания флуктуаций на бирже курсов ценных бумаг, которая содержала математическую теорию броуновского движения.

Эта работа долго оставалась без должного внимания.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Среди важных предпосылок создания теории случайных процессов следует назвать "цепную зависимость", введенную А.А.Марковым (1856-1922) в 1906 году.

Удивительно, что построенная модель случайных величин, получившая название цепи Маркова, возникла при изучении им расположения комбинаций гласных и согласных букв в тексте романа "Евгений Онегин" и лишь позднее была использована и обобщена в ряде физических исследований.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

На сегодняшний день создана мощная теория марковских процессов, имеющая разнообразные применения, в частности, в биологии. Интерес представляет и теория марковских случайных полей, возникшая на основе теории марковских процессов.

Марковские цепи и поля находят приложения и при распознавании образов. Упомянем также широко известный метод Монте-Карло марковских цепей (английская аббревиатура MCMC).

Укажем на книги Е.Б.Дынкина, Ю.А.Розанова, Р.Киндермана, Н.Бремо, Г.Винклера.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Ф.Лундбергом (1876-1965) в его диссертации (1903) была введена модель, описывающая деятельность страховой компании.

В этой работе впервые возник так называемый пуассоновский процесс, который позднее стал использоваться при изучении радиоактивного распада и в ТМО.

В теории страхования ныне широко известны модели Крамера – Лундберга и Спарре – Андерсена. В первой используется процесс Пуассона, во второй – процесс восстановления для описания поступления исков.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Процессы с "дискретным вмешательством случая" и идеи, восходящие к классическим задачам геометрических вероятностей (например, о "случайном бросании" на плоскость точки или иглы) привели позднее к созданию теории точечных случайных процессов (см., например, монографию Д.Штояна и Г.Штояна).

В настоящее время маркированные точечные процессы широко используются в моделях страхования.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Отметим также модель Гальтона – Ватсона, относящуюся к анализу вымирания аристократических фамилий в Великобритании.

Эта модель сформировалась в 1873 году в ходе переписки Ф.Гальтона (1822-1911) и Г.Ватсона (1827-1903), приведшей к "теореме вырождения".

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Она послужила основой для развития во второй половине XX века теории ветвящихся процессов, изучающей эволюцию семейств рождающихся и гибнущих частиц, а также взаимодействия частиц различных типов.

Отметим труды А.Н.Колмогорова, Н.А.Дмитриева (1924-2000), Б.А.Севастьянова, Р.Беллмана (1920-1984), Т.Харриса (1919-2005), П.Ягерса и их последователей.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Выдающуюся роль в создании общей теории случайных процессов сыграли статьи А.Н.Колмогорова "Об аналитических методах в теории вероятностей"(1931) и А.Я.Хинчина "Теория корреляции стационарных стохастических процессов"(1934).

Однако прочный фундамент для теории случайных процессов (как и всей теории вероятностей) был заложен в 1933 году благодаря аксиоматике Колмогорова.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Классическая теорема Колмогорова дает условия, при которых на некотором пространстве (, F, P) существует случайный процесс {X (t), t T } c заданными конечномерными распределениями, т.е. мерами, представляющими собой законы распределения векторов (X (t1 ),..., X (tn )), где t1,..., tn T и n N.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Случайный процесс {X (t), t T }, где T R, называется цепью Маркова, если величины X (t) при всех t T принимают значения в конечном или счетном множестве S (точки которого удобно отождествить с их номерами) и выполнено следующее соотношение. Для всех i1,..., in, i, j S, s1... sn s t, s1,..., sn, s, t T и n N P(X (t) = j|X (s1 ) = i1,..., X (sn ) = in, X (s) = i) = P(X (t) = j|X (s) = i), когда P(X (s1 ) = i1,..., X (sn ) = in, X (s) = i) = 0.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Смысл данного определения состоит в том, что поведение "системы" в момент времени t при заданных состояниях в предшествующие моменты времени s1,..., sn, s зависит только от ее состояния в последний момент s, предшествующий t.

Обычно рассматриваются цепи Маркова с дискретным или непрерывным временем, т.е.

когда соответственно T = Z+ или T = [0, ).

–  –  –

где s t (s, t T ), и начальным распределением P(X (0) = i), i, j S.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Теория случайных процессов бурно развивалась в XX-м веке. Возникли обширные новые направления этой теории. Например, исследования А.К. Эрланга (1878-1929), связанные с изучением загрузки телефонных сетей, привели к формированию теории массового обслуживания ("теории очередей").

В этой области выделяются работы Б.В.Гнеденко (1912-1995), И.Н.Коваленко, Ю.К.Беляева и А.Д.Соловьева (1927-2001).

Ныне эта теория охватывает новые области исследований, например, транспортные сети.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Введение К.Ито (1915-2008) стохастического интеграла, называемого ныне интегралом Ито, привело к созданию стохастического исчисления и мощной теории стохастических дифференциальных уравнений.

Например, уравнение Ланжевена для скорости V = V (t) движения частицы в жидкости может быть записано в виде

–  –  –

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов где a и b - числовые коэффициенты, характеризующие массу частицы и вязкость среды, а W = W (t) – винеровский процесс (броуновское движение).

Поразительный факт заключается в том, что почти все (по мере P) траектории винеровского процесса не дифференцируемы ни в одной точке t [0, )!

Поэтому приведенное уравнение следует понимать как формальную запись некоторого интегрального соотношения, вовлекающего интеграл Ито.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Для привлечения внимания слушателей к этой области исследований отметим, что методы стохастического анализа позволили решить сложные и важные задачи выделения ("фильтрации") сигнала на фоне шума. В этой связи упомянем известный фильтр Кальмана-Бьюси.

Более того, отметим, что ныне на передний край выходят исследования стохастических дифференциальных уравнений в частных производных.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Отдельного упоминания заслуживают разнообразные задачи оптимального управления случайными процессами. Например, задачи нахождения (в определенном смысле) оптимальных режимов функционирования сложных систем.

Теория гиббсовских случайных полей, заложенная в 60-е годы прошлого века в работах Р.Л.Добрушина (1929-1995), О.Лэнфорда и Д.Рюэля, позволила, например, интерпретировать фазовые переходы состояний вещества.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Теория автомодельных процессов, инициированная А.Н.Колмогоровым в 40-е годы XX-го столетия, обеспечила прогресс в изучении турбулентности. Оказалось, что автомодельность свойственна многим физическим процессам.

Дальнейшее развитие этой теории "фрактальности" связано с работами Б.Мандельброта и его последователей.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Отдельно отметим, что возникли новые разделы математической статистики, относящиеся к изучению случайных процессов (в частности, прогноз и интерполяция). В этой связи укажем на исследования У.Гренандера, И.А.Ибрагимова и Р.З.Хасьминского.

Важную роль в современных условиях играет и моделирование (на компьютере) случайных процессов и полей.

Можно сказать, что сейчас существует целый ряд самостоятельных направлений исследований в теории случайных процессов, некоторые из них были упомянуты выше.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Как правило, выделяются достаточно широкие классы случайных процессов и для их изучения используется соответствующий набор методов.

По семействам независимых случайных величин (более общим образом, случайных элементов), которые существуют в силу теоремы Ломницкого - Улама5, возможно строить новые случайные функции. Так, например, определяются процессы восстановления".

А.Ломницкий (1881-1941), С.Улам (1909-1984).

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов

–  –  –

где t [0, ) и сумма по пустому множеству индексов (т.е. когда X1 t) считается равной нулю.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Если "поломки" некоторого устройства происходят в случайные моменты X1, X1 + X2, X1 + X2 + X3,..., и мгновенно производится устранение этих поломок, то Y (t) дает общее число восстановлений за время от 0 до t.

Заметим, что анализ траекторий сумм независимых случайных величин (иначе говоря, случайных блужданий) нашел применения в теории полимеров.

Большой интерес представляют также случайные блуждания в случайной среде.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Важный класс образуют процессы с независимыми приращениями. В этот класс входят броуновское движение (называемое также винеровским процессом) и пуассоновский процесс.

В связи с задачами стохастической финансовой математики большое значение приобрели также процессы Леви.

Обширный и хорошо изученный класс составляют гауссовские процессы.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Действительный гауссовский процесс {X (t), t T } - это процесс, у которого все конечномерные распределения являются гауссовскими, т.е. при любом n N и произвольных t1,..., tn вектор (X (t1 ),..., X (tn )) гауссовский.

Другими словами, характеристическая функция этого вектора имеет вид

–  –  –

где (·, ·) - скалярное произведение в Rn, i 2 = 1, = (1,..., n ) Rn, вектор a = (a1,..., an ) Rn и n n-матрица C = (ck,r ) симметрична и обладает свойством неотрицательной определенности (ak = EX (tk ) и ck,r = cov(X (tk ), X (tr ))).

–  –  –

Заметим, что компоненты гауссовского вектора X (t1 ),..., X (tn ) независимы в том и только том случае, когда cov(X (tk ), X (tr )) = 0 при всех k = r (k, r {1,..., n}). Броуновское движение является гауссовским процессом. Множество глубоких результатов относится к изучению траекторий гауссовских процессов (и полей).

Например, найдены необходимые и достаточные условия непрерывности траекторий.

Исследованы такие важные задачи, как нахождение асимптотики вероятности выброса процесса за высокий уровень u (когда u ).

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Рис. 2. Реализация гауссовского случайного поля.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов В XX-м веке наряду с марковской зависимостью появились и другие важные определения, приводящие к новым классам процессов.

Достаточно напомнить определение процессов, представляющих собой мартингалы (имеются также субмартингалы и супермартингалы).

Этот класс задается с помощью фильтрации, т.е.

семейства -алгебр Ft, где t T R, обладающих свойством "возрастания":

–  –  –

Действительный случайный процесс {X (t), t T } называется мартингалом относительно фильтрации (Ft )tT, если величина X (t) является Ft |B(R)-измеримой при любом t T и E(X (t)|Fs ) = X (s) для всех s, t T таких, что s t. Здесь E(·|Fs ) обозначает условное математическое ожидание относительно -алгебры Fs. Оказалось, что класс мартингалов (и более общий класс семимартингалов) играет важнейшую роль в теории стохастических дифференциальных уравнений.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Во второй половине XX-го века стали исследоваться процессы и поля с перемешиванием, а начиная с 70-х годов - процессы и поля, обладающие различными формами положительной или отрицательной зависимости. Часто положительную зависимость называют ассоциированностью. В физической литературе используются близкие условия, носящие название ФКЖ-неравенств (по имени К.Фортуина, П.Кастелейна (1924-1996) и Ж.Жинибра, которые в 1971 году ввели эти условия)6.

См. монографию А.В.Булинский, А.П.Шашкин "Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем" Физматлит, 2008.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Такие неравенства и их аналоги оказались полезными в задачах теории перколяции (или просачивания).

Простейший вариант такой задачи был сформулирован в 1957 году С.Бродбентом и Дж.Хаммерсли (1920-2004). Поместим пористый камень в емкость с водой. С какой вероятностью вода попадет в заданную точку этого камня?

Формализуется задача следующим образом.

Представим себе камень как множество "широких"и "узких"каналов.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Удобно рассматривать камень как решетку Zd (при d = 3) и считать каналами ребра, соединяющие соседние вершины (для которых x y = 1, где x; y Zd и u = d =1 |uk |, u Zd ).

k Пусть каждое ребро Zd является открытым ("широким") с вероятностью p и закрытым ("узким") с вероятностью 1 p, причем все ребра открываются или закрываются независимо друг от друга (0 p 1).

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Спрашивается, при каких p на решетке Zd возникает бесконечный путь из открытых каналов (имеются и другие формулировки).

Доказывается, что ответ на поставленный вопрос зависит от того, больше или меньше p некоторой критической вероятности pc (d).

Дальнейшему развитию этой проблематики посвящены, например, книги Г.Кестена и Дж.Гримметта.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Во второй половине прошлого века были установлены глубокие взаимосвязи между изучением процессов (полей), заданных на дискретных и непрерывных параметрических множествах, а также исследованы распределения процессов в различных функциональных пространствах.

Огромный вклад в эту область функциональных предельных теорем внесли А.Н.Колмогоров, Ю.В.Прохоров, А.В.Скороход, В.Штрассен, А.А.Боровков, А.Н.Ширяев, Ж.Жакод и другие ученые.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Новые проблемы, требующие развития теории случайных процессов и полей, возникают в биологии и медицине.

Усилия многих математиков направлены также на развитие актуарной и стохастической финансовой математики.

Интересно, что вероятностные идеи используются в различных математических областях. Например, в комплексном анализе хорошо известно уравнение Левнера.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов

–  –  –

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Известно, что крупные достижения в науке возникают на стыке нескольких областей.

Отметим, что в 2006 году А.Ю.Окунькову была присуждена премия Филдса "за достижения, соединяющие теорию вероятностей, теорию представлений и алгебраическую геометрию".

В 2010 году С.К.Смирнов был удостоен премии Филдса за работы в области теории перколяции и исследование скейлинговых пределов в моделях статистической физики.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов

–  –  –

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Даже на простых примерах, рассмотренных выше, мы видим, что часто новое рождается в недрах старого и со временем вырастает в отдельную область исследований.

К сожалению, нет возможности отметить даже все основные направления исследований современной теории случайных процессов, а тем более остановиться на замечательных результатах целого ряда выдающихся ученых.

Мы не останавливаемся и на достижениях сотрудников кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, поскольку они отражены на их индивидуальных страницах.

–  –  –

1755 г. – основан Московский университет, 1933 г. – создан механико-математический факультет (разделением физико-математического факультета на два факультета), 1935 г. – организована кафедра теории вероятностей.

–  –  –

Кафедра теории вероятностей является одним из основных центров по подготовке специалистов и научным исследованиям в области теории вероятностей и математической статистики в нашей стране.

Многие поколения советских и российских ученых в этой области науки считают себя непосредственными питомцами этой кафедры.

–  –  –

С 1996г. по настоящее время заведующий Академик РАН Альберт Николаевич Ширяев Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций На мех-мате 2 потока математиков, для одного из них (6 групп) кафедра теории вероятностей читает лекции и ведет упражнения по Теории вероятностей (4 семестр), Математическая статистика (5 семестр), Теория случайных процессов (6 семестр), лекторы:

Проф. А.В.Булинский (2012г., 2009г., 2007г.,...), Проф. Е.В.Булинская (2011г., 2010г., 2008г.,...).

Для другого потока аналогичные курсы читаются кафедрой математической статистики и случайных процессов, созданной А.Н.Колмогоровым в 1966 г.

–  –  –

Такая система сложилась постепенно.

В 50-60-е годы для потока математиков читался только полугодовой курс теории вероятностей (в 5 семестре). Таким образом, специализация теория вероятностей выбиралась до того, как был прослушан соответствующий курс. Более того, курсовые работы начинались не с 3 курса, как сейчас, а со 2 курса.

Математическая статистика (6 семестр) и случайные процессы (7 и 8 семестры) читалась только для группы теории вероятностей.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

Случайные процессы (годовой курс для специализации теория вероятностей) читали А.Н.Колмогоров, Р.Л.Добрушин, Ю.В.Прохоров, А.М.Яглом, позднее А.Д.Вентцель, М.И.Фрейдлин, А.Н.Ширяев, Е.В.Булинская.

В 1972г. в МГУ был издан учебник А.Н.Ширяева "Случайные процессы"по материалам его лекций.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

В 70-е годы ввели годовой курс теории вероятностей и математической статистики (4 и 5 семестры) для потока математиков.

А затем, на основании многочисленных анкет выпускников мех-мата, которые отмечали, что для работы им нехватает знаний по случайным процессам, в 6 семестре был введен такой курс.

Но даже после этого для специализации теория вероятностей годовой курс случайных процессов читался отдельно от общего курса до середины 90-х годов.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций В настоящее время группа "теории вероятностей" слушает общий курс "Теория случайных процессов", но есть "Дополнительные главы случайных процессов".

1993 г. – создание "экономического потока"(случайные процессы читаются отдельно).

1996 г.– специализация "актуарно-финансовый аналитик"(слушают общий курс случайных процессов, но есть обязательные спецкурсы, касающиеся стохастического исчисления).

–  –  –

Автор: профессор кафедры теории вероятностей А.В.Булинский

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Направление подготовки – МАТЕМАТИКА Квалификация (степень) выпускника – бакалавр (дипломированный специалист, магистр) Форма обучения – очная

–  –  –

1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины (модуля) "Теория случайных процессов" являются фундаментальная подготовка в области построения и анализа сложных стохастических моделей, овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в разнообразных приложениях.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО Семестровый курс "Теория случайных процессов" входит в цикл вероятностных дисциплин в базовой части обучения.

Этот цикл состоит их трех взаимосвязанных частей (два предшествующих семестровых курса – "Теория вероятностей", "Математическая статистика").

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

Для его успешного освоения необходимы знания и умения, приобретенные в результате обучения предшествующим (а также параллельно изучаемым) дисциплинам:

математический анализ, комплексный анализ, алгебра, дифференциальные уравнения, функциональный анализ.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

Знание теории случайных процессов может существенно помочь при построении и анализе сложных стохастических моделей, возникающих в физике, химии, биологии, медицине, экономике, финансовой и актуарной областях, а также в технике.

Кроме того, методы теории случайных процессов широко применяются в целом ряде направлений современной математики.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

ОБУЧАЮЩИЙСЯ ДОЛЖЕН

1) ЗНАТЬ определения и свойства основных объектов изучения теории случайных процессов, а также формулировки наиболее важных утверждений, методы их доказательства, возможные сферы приложений.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

2) УМЕТЬ решать задачи вычислительного и теоретического характера в области случайных процессов, устанавливать взаимосвязи между вводимыми понятиям, доказывать как излагавшиеся утверждения, так и родственные им новые.

3) ВЛАДЕТЬ разнообразным математическим аппаратом, подбирая сочетания различных методов, для описания и анализа сложных стохастических моделей.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

4.Структура и содержание дисциплины Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы, 120 часов.

6 семестр (Формы контроля – 2 контрольные работы, зачет, экзамен).

1 лекция в неделю (2 часа), 1 семинар в неделю (2 часа), самостоятельная работа 3-4 часа в неделю.

5. Образовательные технологии: активные и интерактивные формы

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

Лекция 1.

Примеры случайных процессов, основанные на семействах независимых случайных элементов (случайные блуждания, процесс восстановления, модель Крамера – Лундберга, эмпирические меры, пуассоновский точечный поток).

Построение последовательности независимых действительных случайных величин, имеющих заданные распределения. Ветвящиеся процессы Гальтона – Ватсона. Вероятность вырождения.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

Лекция 2.

Случайные элементы и их распределения.

Случайный процесc как семейство случайных элементов и как одно измеримое отображение в пространство траекторий. Структура цилиндрической сигма-алгебры. Конечномерные распределения процесса. Формулировка теоремы Колмогорова о согласованных распределениях (доказательство необходимости условий). Условия согласованности мер на пространствах (R n, B(R n )) в терминах характеристических функций.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций Лекция 3.

Критерий существования процесса с независимыми приращениями в терминах характеристических функций приращений.

Пуассоновский и винеровский процессы как процессы с независимыми приращениями.

Гауссовские процессы. Построение действительного гауссовского процесса, имеющего заданные функцию среднего и ковариационную функцию.

–  –  –

Лекция 4.

Конструкция броуновского движения по функциям Шаудера и последовательности независимых гауссовских величин:

а) построение на [0, 1];

б) построение на [0, ).

–  –  –

Лекция 5.

Теоремa Пэли - Винера - Зигмунда (недифференцируемость с вероятностью 1 траекторий броуновского движения в каждой точке t 0).

Модификация процесса.

Теорема Колмогорова - Ченцова (построение модификации, имеющей гельдеровские траектории).

–  –  –

Лекция 6.

Фильтрация.

Марковские моменты, момент остановки.

Примеры.

Первое тождество Вальда.

Марковское и строго марковское свойства броуновского движения.

–  –  –

Лекция 7.

Принцип отражения.

Теорема Башелье (нахождение распределения supt[0,T ] W (t), где W (·) - винеровский процесс).

Набросок доказательства закона повторного логарифма (теорема Хинчина).

–  –  –

Лекция 8.

Слабая сходимость вероятностных мер на метрических пространствах. Теорема А.Д.Александрова (без доказательства).

Сходимость по распределению случайных элементов, ее сохранение при непрерывных отображениях.

Принцип инвариантности (формулировка теорем Донскера и Прохорова). Вывод центральной предельной теоремы (ЦПТ) из функциональной ЦПТ.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

Лекция 9.

Условное математическое ожидание, его свойства. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы. Примеры. Разложение Дуба.

Дискретный вариант формулы Танака.

Равномерная интегрируемость семейства случайных величин.

Доказательство соотношения ELn (0) (2n/) (Ln (0) - локальное время в нуле).

Теорема Дуба об остановке.

–  –  –

Лекция 11.

Марковские процессы с дискретным и непрерывным временем. Различные определения. Примеры.

Доказательство того, что действительный процесс с независимыми приращениями является марковским.

–  –  –

Лекция 12.

Построение марковской цепи по начальному распределению и переходным вероятностям.

Пуассоновский процесс как цепь Маркова.

Однородные марковские процессы.

Эргодическая теорема для цепей Маркова с непрерывным временем.

–  –  –

Лекция 15.

Формулировки теорем Герглотца, Бохнера-Хинчина.

Стационарные в широком смысле процессы, их спектральное представление.

Спектральная плотность.

Эргодичность в L2 ().

–  –  –

Лекция 16.

Уравнение Ланжевена.

Процесс Орнштейна-Уленбека.

Интеграл Ито и его свойства.

Формула Ито (без доказательства).

Понятие о стохастических дифференциальных уравнениях и сильных решениях.

–  –  –

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины Основная литература Классический университетский учебник А.В.Булинский, А.Н.Ширяев "Теория случайных процессов" М.: Физматлит, 2005.

(1 издание: Булинский А.В., Ширяев А.Н.

Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003.)

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

[1] А.Н. Ширяев. Вероятность. Т. 1,2. М.:

МЦНМО, 2005 (третье издание).

[2] Афанасьева Л.Г., Булинская Е.В. Случайные процессы в теориии массового обслуживания и управления запасами. Изд-во МГУ, 1980.

[3] Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1972.

[4]* Бриллинджер Д. Анализ временных рядов.

М.: Мир, 1979.

[5] Вентцель А.Д. Курс лекций по случайным процессам. М.: Наука, 1982.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций [6]* Вентцель Е.С., Овчаров А.В. Прикладные задачи теории случайных процессов. М.: Наука, 1992.

[7] Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1972.

[8] Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1989.

[9]* Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.:

Наука, 1965.

[10]* Дынкин Е.Б., Юшкевич А.П. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1968.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций [11]* Дуб Дж. Вероятностные процессы.

Физматгиз, 1953.

[12]* Ито К. Вероятностные процессы. М.:

Наука, 1962.

[13]* Козлов М.В. Элементы теории вероятностей в задачах и примерах. Изд-во МГУ, 1991.

[14] Крамер Г., Лидбеттер Дж. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1970.

[15] Крылов Н.В. Лекции по случайным процессам (части 1 и 2). Изд-во МГУ, 1987.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

[16]* Ламперти Дж. Случайные процессы.

Киев.: Вища школа, 1983.

[17]* Прохоров А.В., Ушаков А.Ф., Ушаков В.А.

Задачи по теории вероятностей. М.: Наука, 1989.

[18] Розанов Ю.А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. М.: Наука, 1987.

[19]* Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы. М.: Наука, 1989 (второе издание).

[20] Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайные процессы. Изд-во МГУ, 1992.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций [21] Ширяев А.Н. Случайные процессы (лекции для студентов 3 курса). Изд-во МГУ, 1972.

[22] Хида Т. Броуновское движение. М.: Наука, 1988.

Примечание: знаком * отмечена дополнительная литература.

–  –  –

Стандартная программа ОПД Ф 15 Теория случайных процессов Определение случайного процесса, конечномерные распределения, траектории;

теорема Колмогорова о существовании процесса с заданным семейством конечномерных распределений (без доказательства). Классы случайных процессов: гауссовские, марковские, стационарные, точечные с независимыми приращениями; примеры; соотношения между классами. Свойства многомерных гауссовских процессов; существование гауссовского процесса Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций с заданным средним и корреляционной матрицей; свойства симметрии и согласованности. Винеровский процесс.

Критерий Колмогорова непрерывности траекторий; следствие для гауссовских процессов. Пуассоновский процесс; построение пуассоновского процесса по последовательности независимых показательных распределений;

определение Хинчина пуассоновского процесса.

Среднеквадратическая теория: необходимые и достаточные условия непрерывности, дифференцируемости, стохастический интеграл, Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций процессы с ортогональными приращениями.

Пример стационарного, гауссовского, марковского процесса, примеры стационарных в широком смысле процессов. Цепи Маркова с непрерывным временем, уравнение Колмогорова-Чепмэна, прямые и обратные дифференциальные уравнения Колмогорова, время пребывания процесса в данном состоянии.

Процессы гибели и размножения, связь с теорией массового обслуживания, применения к расчету пропускной способности технических систем.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций Программа курса Теория случайных процессов 2010-2011 гг. Лектор проф. Е.В.Булинская

1. Случайный элемент со значениями в измеримом пространстве, определение и примеры.

2. Пространство (R T, B T ).

3. Эквивалентность двух определений случайного процесса.

4. Конечномерные распределения, условия симметрии и согласованности.

5. Конечномерные распределения однозначно определяют меру на B T.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций

6. Теорема Колмогорова о существовании процесса с заданным семейством конечномерных распределений.

7. Классы случайных процессов (с независимыми значениями, процессы восстановления, с независимыми приращениями, стационарные в узком и широком смысле, гауссовские, марковские, мартингалы).

8. Теорема о существовании гауссовского процесса с заданными средним и ковариационной функцией.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

9. Виды непрерывности случайных процессов и их связь.

10. Эквивалентность случайных процессов.

11. Необходимые и достаточные условия существования эквивалентного процесса с непрерывными траекториями.

12. Теорема Колмогорова о существовании эквивалентного процесса с непрерывными траекториями.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

13. Условия существования эквивалентного гауссовского процесса с непрерывными траекториями.

14. Два определения винеровского процесса и их эквивалентность.

15. Конструкция винеровского процесса на [0,1].

16. Задание винеровского процесса на полупрямой.

17. Определение пуассоновского процесса, пуассоновский процесс как процесс восстановления.

18. Сепарабельность случайного процесса.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций

19. Измеримость случайного процесса, существование измеримой модификации.

20. Интегрируемость траекторий процесса.

21. Недифференцируемость траекторий винеровского процесса.

22. Условное математическое ожидание и его свойства.

23. Мартингал, субмартингал, супермартингал (определения и результат применения выпуклой функции).

24. Лемме Дуба-Мейера.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций

25. Мартингальные неравенства.

26. Лемма Дуба о числе пересечений.

27. Теорема об отсутствии разрывов второго рода у субмартингалов.

28. Марковское свойство винеровского процесса.

29. Строго марковское свойство винеровского процесса.

30. Неравенство Леви.

31. Принцип отражения.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

32. Закон повторного логарифма для винеровского процесса.

33. Локальный закон повторного логарифма.

34. Неограниченность вариации винеровских траекторий.

35. Интеграл Ито для ступенчатых функций и его свойства.

36. Интеграл Ито для функций из M2.

37. Формула Ито замены переменных.

38. Стохастический дифференциал.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

39. Теорема существования сильного решения стохастического дифференциального уравнения.

40. Теорема единственности.

41. Корреляционная функция и ее свойства.

42. Необходимое и достаточное условие существования предела в среднем квадратичном.

43. Непрерывность процесса в среднем квадратичном.

44. Дифференцируемость процесса в среднем квадратичном.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций

45. Интегрируемость процесса в среднем квадратичном.

46. Связь дифференцируемости процесса в среднем квадратичном и дифференцируемости траекторий.

47. Ортогональные случайные меры, структурные меры.

48. Соответствие между ортогональными случайными мерами и процессами с ортогональными приращениями.

49. Стохастический интеграл (от неслучайной функции) и его свойства.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций

50. Пример стационарного гауссовского марковского процесса.

51. Спектральное представление стационарного в широком смысле процесса (на основе теорем функционального анализа).

52. Теорема Бохнера-Хинчина.

53. Спектральное представление стационарного в широком смысле процесса.

54. Линейные преобразования неслучайных функций.

55. Допустимый фильтр.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций

56. Примеры фильтров.

57. Решение дифференциального уравнения как допустимый фильтр.

58. Сигулярные и регулярные процессы.

59. Разложение Вольда.

60. Прогноз стационарного процесса

–  –  –

Кроме лекций имеются семинарские занятия, следующие прочитанному материалу.

Лектор каждый раз сообщает преподавателям, ведущим семинары, что было прочитано, а также, какой материал желательно разобрать (иногда дается набор задач, необходимых для усвоения следующих лекций).

В свою очередь, преподаватели информируют лектора (часто по электронной почте) о решенных задачах и заданных на дом.

Ведется контроль за выполнением домашних заданий.

Е.В.Булинская Случайные процессы

3. Работа со студентами

7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов Задачи составили доценты А.Д.Манита, А.П.Шашкин.

Контрольная работа 1

1. Пусть случайная величина Y - стандартная нормальная, а случайный процесс X = {Xt, t 0} задан равенством Xt = tI{t |Y |}. Проверить, непрерывен ли X по вероятности. Найти конечномерные распределения 1 и 2 порядка.

Е.В.Булинская Случайные процессы

3. Работа со студентами

2. Найти ковариационную функцию случайного процесса exp{Wt }, где Wt - винеровский процесс.

3. Частица находится в одной из вершин единичного куба в трехмерном пространстве. В каждую единицу времени она выбирает одну из вершин, соседних с той, где она находится (каждую из таких - с одинаковой вероятностью), и переходит в нее. Сколько в среднем времени пройдет, прежде чем частица в первый раз придет в вершину, противоположную стартовой?

Е.В.Булинская Случайные процессы

3. Работа со студентами Контрольная работа 2

1. Найти cov(Y0, Y2 ), если Yt = dXt /dt, а процесс X = {Xt, t 0} стационарен и имеет спектральную плотность f () = exp{2 /2}.

2. Пусть S0 = 0, Sn = X1 +... + Xn, где случайные величины (Xn, n N) независимы и принимают значения 1 и -1 с одинаковыми вероятностями. При каких вещественных случайный процесс Mn = exp{Sn n} является: а) мартингалом; б) субмартингалом?

–  –  –

Задачи к зачету

1. Найти все такие a, b R, что Xt = exp{aWt + bt} - мартингал (Wt винеровский процесс).

2. Найти все такие a, b R, что Xt = exp{aNt + bt} - мартингал (Nt пуассоновский процесс с параметром 0).

3. Найти все такие a, b R, что Wt4 + atWt2 + bt 2 - мартингал (Wt - винеровский процесс).

–  –  –

4. Найти все такие a, b, c R, что Nt2 + atNt + bt 2 + ct - мартингал (Nt пуассоновский процесс с параметром 0).

5. Отрезок единичной длины ломается в равномерно выбранной случайной точке.

Берется больший из получившихся двух отрезков и снова ломается в случайной точке, равномерно распределенной на этом отрезке, и т.д. Все разломы делаются независимо. Пусть Xn

- длина отрезка, полученного после n разломов.

Найти такое c 0, что c n Xn - мартингал.

Е.В.Булинская Случайные процессы3. Работа со студентами

6. Пусть Wt - винеровский процесс и = inf{t 0 : Wt = a}, где a 0. Найти Ee для любого 0.

7. Пусть стационарный случайный процесс X = (Xn )nZ таков, что Xn = Xn2 /16 + n.

Здесь n независимы, En = 0, Dn = 1. Найти спектральную меру процесса X.

8. Найти ковариационную функцию процесса Xt = cos Wt (Wt - винеровский процесс).

9. Найти ковариационную функцию процесса Xt = cos Nt (Nt - пуассоновский процесс с параметром 0).

Е.В.Булинская Случайные процессы

3. Работа со студентами

10. Найти ковариационную функцию процесса Xt = I{Nt = 0} (Nt - пуассоновский процесс с параметром 0).

11. Случайный процесс Y = (Yt )tR стационарен и имеет спектральную плотность 1/(1 + 2 ).

Найти DX0, где процесс X есть решение уравнения Xt Xt = Yt.

12. Случайный процесс Y = (Yt )tR стационарен и имеет спектральную плотность |3 | exp{2 /2}. Найти DX0, где процесс X есть решение уравнения Xt = Yt.

Е.В.Булинская Случайные процессы3. Работа со студентами

13. Пусть стационарный случайный процесс X = (Xn )nZ таков, что Xn = Xn2 /4 + Xn1 /4 + n. Здесь n независимы, En = 0, Dn = 1. Найти cov(X1, X3 ).

14. Найти D 0 I{Ws 0} dWs (Wt винеровский процесс).

15. Случайный процесс X = (Xt )tR стационарен и имеет ковариационную функцию R(t) = 1/(1 + t 2 ), найти его спектральную плотность.

Е.В.Булинская Случайные процессы

3. Работа со студентами

16. Случайный процесс X = (Xt )tR стационарен и имеет ковариационную функцию R(t) = exp{|t|} cos t, найти его спектральную плотность.

17. Стационарный случайный процесс X = (Xn )nZ задан равенством Xn = (n + n1 )2, где величины n независимые и стандартные нормальные. Найти спектральную плотность X.

18. Найти дифференциал случайного процесса t Yt = Wt 0 esWs dWs.

Е.В.Булинская Случайные процессы3. Работа со студентами

19. Доказать, что винеровский процесс не дифференцируем в среднем квадратическом.



Pages:   || 2 |

Похожие работы:

«УДК 378.14 ПРОБЛЕМЫ КАЧЕСТВА ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРОВ И МАГИСТРОВ В УСЛОВИЯХ РЕФОРМИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ Quality problems bachelor's and master in reforming education Т. И. Кружкова, заместитель директора института экономики, финансов и менеджмента Уральского государственного аграрного университета, О. А. Рущицкая, кандидат экономических наук, доцент, директор института экономики, финансов и менеджмента Уральского государственного аграрного университета (Екатеринбург, ул. К. Либкнехта, 42)...»

«ББК 65.04 : 65.05 (2Рос4Пер) ОБЗОР СОСТОЯНИЯ НАУКИ ПЕРМСКОГО КРАЯ М.А. Бородина ГОУ ВПО «Пермский государственный университет», г. Пермь Рецензент Н.П. Пучков Ключевые слова и фразы: затраты на научные исследования и разработки; источники финансирования затрат; наука; научные организации; научный персонал; стоимость научных исследований и разработок. Аннотация: В развитых странах наука рассматривается как важнейшая основа устойчивого экономического роста. В основе управления сферой НИОКР лежит...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ СОЦИАЛЬНОЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ТЕРРИТОРИЙ РАН М.А. Головчин, Г.В. Леонидова, А.А. Шабунова Образование: региональные проблемы качества управления Вологда ББК 65.497.4(2Рос–4Вол) Г61 Публикуется по решению Ученого совета ИСЭРТ РАН Головчин, М.А. Образование: региональные проблемы качества управления [Текст]: монография / М.А. Головчин, Г.В. Леонидова, А.А. Шабунова. – Вологда: ИСЭРТ РАН, 2012. – 197 с. Научный консультант доктор экономических наук, профессор,...»

«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЛОБАЛЬНОЙ ДИНАМИКИ МИРОВОГО СООБЩЕСТВА В.А. Белавин, Е.Н. Князева, Е.С. Куркина Постановка проблемы. Мировое сообщество – сложная неравновесная саморазвивающаяся и самоорганизующаяся система. Сложность, многофакторность и противоречивость развития мирового сообщества, взаимозависимость экономических, демографических и геополитических процессов приводит к мысли, что это развитие невозможно описать простыми универсальными законами. Однако это не так. Эволюция...»

«МЕЖКУЛЬТУРНАЯ КОММУНИКАЦИЯ УДК 81'373.612.2 Е. Ю. Воякина Ономастическая метафора в экономическом дискурсе В статье рассматривается явление ономастической метафоры в экономическом дискурсе в русле когнитивно-дискурсивной парадигмы и антропоцентрического подхода, анализируются основные разновидности ономастических метафор с учетом их национально-культурных, аксиологических особенностей и прагматических установок. The article deals with the phenomenon of onomastic metaphor in the economic...»

«Особенности применения экономико-математических и эконометрических методов в экономических исследованиях И.В. Таранова д.э.н., доцент кафедры мировой экономики Ставропольский государственный аграрный университет Аннотация: В статье рассмотрены экономико-математические методы, эконометрические модели и их применение в практической и учебной деятельности. Ключевые слова: экономико-математические методы, эконометрические модели, экономическое моделирование The summary: In article...»

«Экономический дайджест №1 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ДАЙДЖЕСТ №1 Краткий обзор основных экономических событий за период с 20 по 24 января 2014 года Законодательство Минэкономразвития подготовило «Концепцию первоочередных мер социально-экономического развития», реализовать которые правительство может в 2014—2015 годах. Минэкономразвития предлагает поддерживать конкурентоспособность несырьевой продукции, инвестиционную активность предприятий и человеческий капитал, именно эти факторы станут основными...»

«Ускорится ли российская экономика в 2015 году? ПОНАРС Евразия Аналитическая записка № 361 Март 2015 Владимир Попов Профессор Российской академии народного хозяйства и государственной службы Исправление ошибок экономической политики — снижение завышенного курса рубля и защита внутреннего рынка продовольствия — похоже, создает более сильный импульс для роста национальной экономики, чем угнетающее воздействие оттока капитала и снижения нефтяных цен После вялого экономического роста в 2012–2013...»

«ИННОВАЦИОННОЕ РАЗВИТИЕ РЕГИОНА (ПО МАТЕРИАЛАМ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ) Е.А. Чёрная1 Ключевые слова: инновации, экономический рост, государственная поддержка. Keywords: innovation, economic growth, government support. Переход экономики России в новое качественное состояние сделал еще более значимой активизацию инновационной деятельности, проблем формирования инновационного потенциала регионов и страны в целом, позволяющего реорганизовать экономику, ускоренно развивать наукоемкое производство. Это,...»

«УДК 91:327 ОЖЕГОВА Л. А., Изучение феномена ЛЫСЕНКО А. В. сецессионизм а в конт екст е геоэкономического подхода Таврический национальный университет имени В. И. Вернадского Аннотация. В статье рассматриваются основные направления политической геогра­ фии, в рамках которых изучается феномен сецессионизма. Раскрывается связь географии се­ цессионизма и локальной геоэкономики на примере стран Западной Африки. Ключевые слова: сецессионизм, сецессия, зона распространения сецессии, геоэкономика,...»

«Список литературы 1. Борев Ю. Б.Эстетика / Ю. Б. Борев: в 2 т. – Смоленск: Русич, 1997. – Т. 1. – 576 с.2. Кант И. Сочинения: в 6 т. / И. Кант. – Москва: Мысль, 1969. – Т. 5. – 564 с.3. Раицкая Г. В. Понятие и сущность формирования эстетического вкуса личности. – Режим доступа: http://www.superinf.ru/view_helpstud. php?id=2599 (дата обращения 27.02.2015 г.). Е. Ю. Бычкова УДК 377.3.01 E. Y. Bychkova ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессиональнопедагогический университет», г....»

«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ИММАНУИЛА КАНТА В. С. Бильчак Л. В. Пурыжова ЭКОНОМИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ МАЛОГО ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА Под редакцией доктора экономических наук, профессора В. С. Бильчака Издательство Российского государственного университета им. Иммануила Канта УДК 336 (075.8) ББК 65.05я73 Б 62 Рецензенты: Ф. Ф. Стерликов, д-р экон. наук, проф., зав. кафедрой Московского института электроники и математики Л. И. Сергеев, д-р экон. наук, проф., зав. кафедрой РГУ им. И. Канта...»

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. С. Пушкина НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ И ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ НЕПРЕРЫВНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ==================================================== ХАРЬКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «НАРОДНАЯ УКРАИНСКАЯ АКАДЕМИЯ» ==================================================== НЕПРЕРЫВНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В ОБЪЕКТИВЕ ВРЕМЕНИ Монография Под научной редакцией Н. А. Лобанова, В. Н. Скворцова Санкт-Петербург – Харьков УДК...»

«European Journal of Technology and Design, 2013, Vol.(2), № 2 UDC 528; 004.8 Geoinformation Technology for the Control of Transportation Objects Pavel D. Kuzhelev Moscow State University of Geodesy and Cartography, Russian Federation Doctor of Technical Sciences, Associate Professor E-mail: miigaiknir@yandex.ru Abstract. This article provides an analytical review of applying geoinformation technology for the control of transportation objects. The article brings to light the principles of such...»

«MEETING OF THE PARTIES TO THE PROTOCOL ON WATER AND HEALTH TO THE CONVENTION ON THE PROTECTION AND USE OF TRANSBOUNDARY WATERCOURSES AND INTERNATIONAL LAKES First meeting Geneva, 17–19 January 2007 Agenda items 4 (a) and 6 (a) INFORMATION DOCUMENT No. 3 INPUTS RECEIVED BY PARTIES AND NON PARTIES FOR AGENDA ITEM 4 (a) REPORT ON THE STATUS OF IMPLEMENTATION OF THE PROTOCOL AND AGENDA ITEM 6 (a) OBLIGATIONS DERIVING FROM ARTICLE 6 OF THE PROTOCOL -SETTING OF TARGETS AND TARGET DATES INPUTS IN...»







 
2016 www.os.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Научные публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.