WWW.OS.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Научные публикации
 

«УДК: 517.1 К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧИСЛА «E» В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА © 2010 А. М. Фрумкин канд. тех. наук, доцент каф. ...»

УДК: 517.1

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧИСЛА «E» В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

© 2010 А. М. Фрумкин

канд. тех. наук,

доцент каф. электротехники, электроники и автоматики,

e-mail: frumkinam@mail.ru

Курский государственный технический университет

Статья посвящена варианту схемы определения числа «e», альтернативной по

отношению к традиционным схемам определения. Число «е» определяется в процессе

исследования дифференцируемости показательной функции.

Ключевые слова: показательная функция, дифференцируемость, логарифмическая функция, характеристическое свойство, число «e».

В курсах математического анализа число «e» (или число Эйлера) традиционно определяется с помощью формулы для его вычисления. В большинстве учебников и учебных пособий [Архипов 1999; Бесов 2001; Зорич 1981; Ильин 2008; Ильин 1985;

Кудрявцев 1973; Никольский 2001; Тер-Крикоров 2007; Фихтенгольц 1951; Шилов 1969; Щипачев 2006, Яковлев 2004], так же как и в математической энциклопедии [Степанов 1979], число «e» определяется как предел:

(1).

В некоторых курсах [Карташев 2007; Рудин 1976; Уиттекер 1963] число «e»

определяется как сумма ряда:

(2).



Исторически равенство (1) возникло при приближенном решении дифференциального уравнения x+ =x методом «ломаных Эйлера» [Зорич 1981]. С методической и идейной точек зрения число Эйлера естественно определить, задав его характеристическое свойство. Если число «» есть отношение длины окружности к ее диаметру, то число «e» – это единственное положительное число «a», обладающее свойством: значения производной показательной функции ax при всех «x» совпадают с со значениями самой этой функции. Если исходить из этого свойства, число «e»

должно появиться в курсе анализа в процессе исследования дифференцируемости показательной функции без предварительного изучения «второго замечательного предела» (1). Соответственно, возникающие здесь рассуждения отличаются от традиционных.

Предлагаемый подход практически отсутствует в русскоязычных публикациях.

Определение числа «e» на основе описанного характеристического свойства проводится, например, в курсе анализа [Дьедонне 1964]. Эта книга написана для студентов старших курсов университетов и во многом направлена на обобщение и переосмысление уже изученных вопросов. У Жана Дьедонне не было ограничений в организации материала. Рассуждения, посвященные числу «e», у него проводятся в качестве приложения к понятиям первообразной и интеграла. Логарифмическая функция определяется, как решение функционального уравнения вида f(xy)=f(x)+f(y), а показательная функция определяется как обратная к логарифмической. Таким образом, логарифмическая функция считается первичным понятием по отношению к показательной функции. Такое изложение не является естественным для читателя, начинающего изучать анализ. Еще менее элементарно изложение данного вопроса, приведенное в общем трактате «Элементы математики» [Бурбаки 1965], хотя там также реализован близкий подход.

В зарубежных курсах анализа, не переведенных на русский язык, также присутствуют нестандартные схемы определения числа «e». Например, в курсе [Bartle 1964] с использованием понятия равномерной сходимости функций решается дифференциальное уравнение x+ =x с начальным условием x(0)=1 итеративным методом, путем исследования приближений:,. Далее число «e» определяется как x(1) и показывается, что полученная функция x(t) совпадает на самом деле с показательной функцией et в смысле обычного определения показательной функции. В курсе [Apostol 1967] изложение близко к [Дьедонне 1964], но еще более формально: натуральный логарифм определяется как, число «e» – как решение уравнения ln(x)=1, а экспонента – как функция, обратная логарифму.

В настоящей статье предлагается альтернативная схема определения числа «e»

исходя из его характеристического свойства, более естественная при первоначальном изучении анализа. При этом предполагается, что первичным является именно понятие показательной функции, и используется по возможности минимум базовых понятий из теории последовательностей и теории непрерывных функций, необходимых для изучения дифференцируемости показательной функции. Естественно, все факты, излагаемые далее, представлены в достаточно полных учебных пособиях и задачниках (см., например: [Гюнтер 1949, Демидович 1977]). Однако изменены причинноследственные связи между ними и, соответственно, построены другие доказательства этих фактов. Начало и конец доказательства далее обозначаются значками 3и4 соответственно.

Итак, предположим, что мы определили семейство показательных функций f:

(a,x) ax (a0) по схеме, изложенной, например, Фихтенгольцем [1951] или в [Bartle 1964], и доказали основные ее свойства, а логарифм в случае a1 определили как функцию, обратную показательной. Часто в курсах анализа показательная функция с основанием a=1 не рассматривается. В дальнейшем изложении важно, что 1x=1 для любого действительного x. В книге [Дьедонне 1964] равенство 1x1 принимается за определение. В предполагаемой нами схеме определения показательной функции это равенство обосновывается путем рассмотрения рациональных степеней единицы.

Для исследования дифференцируемости функции f(a,x) по «x» рассмотрим для произвольных xR, hR\{0} выражение (3).

Ясно, что дифференцируемость обеспечивается, если существует предел

–  –  –





3Первая часть утверждения есть следствие равенств для любого n.

Для доказательства второй части преобразуем разность, потому что при a1.4 Лемма 2. Если a0 и a1, то последовательность xn(a) строго монотонно убывает, а последовательность yn(a) строго монотонно возрастает.

3Сначала рассмотрим разность

–  –  –

Но последовательность монотонно убывает, поэтому монотонно возрастает. 4 Лемма 3. Для любого a0 существует предел.

Доказательство этого утверждения – очень распространенная задача [Гюнтер 1949, Демидович 1977, Фихтенгольц 1951]. Вариант доказательства приведен, например, в [Фихтенгольц 1951]. Приведенный далее вариант интересен тем, что дает лишний пример применения равенства (4) в рассматриваемой схеме изложения.

3Случай a=1 очевиден. Пусть a1. Обозначим. В силу равенства (4) и условия 1 имеем.

–  –  –

. Таким образом, при любом знаке h верно двойное неравенство:

(5).

–  –  –

3Согласно лемме 1 и лемме 2, xn(a)yn(a)y1(a) и yn(a)xn(a)x1(a). Здесь учитывается и вариант a=1. Последовательность xn монотонно не возрастает и ограничена снизу, поэтому имеет предел. Последовательность yn монотонно не убывает и ограничена сверху, поэтому также имеет предел.

–  –  –

3Доказательство строится по аналогии с доказательством леммы 4. Случай a=1 очевиден. Рассмотрим случай a1. Возьмем произвольное h0 и обозначим.

–  –  –

(8).

–  –  –

.4 Теперь все готово для доказательства следующей теоремы.

Теорема 1. Для любого a0 и любого вещественного “x” показательная функция с основанием “a” дифференцируема в точке “x” и.

3Доказательство непосредственно следует из равенства (3) и леммы 7.4 Заметим, что если отказаться рассматривать показательную функцию с основанием 1, то функция неестественно «лишится» значения в точке 1. Для того чтобы сформулировать характеристическое свойство числа «e», уточним свойства функции (a). Лемма 6 показывает, что функция похожа на логарифм с основанием, большим 1. Покажем, что она обладает основным свойством логарифмической функции.

Лемма 8. Для любых a0, b0 (ab)=(a)+(b).

3 Для любых a0, b0

–  –  –

3Пусть ba0 и. Тогда (b)=(ac)=(a)+(c). Но (c)0, так как c1, поэтому (b)(a). Монотонность доказана.

Возьмем произвольное M0. Для того чтобы показать, что при достаточно большом a0 имеет место неравенство (a)M, возьмем также произвольное b1. Тогда (b)0 и, согласно лемме 8, для любого nN (bn)=n(b). Выберем. Тогда если abn, то (a)M. Таким образом,. Из последнего равенства и из.4 равенства следует равенство Теперь мы можем определить число «e».

Теорема 2. Существует единственное положительное число «e», обладающее свойством: (e)=1.

3(1)=0. В силу условия найдется такое a1, что (a)1. По теореме о промежуточном значении для непрерывной функции найдется e[1,a]:

(e)=1. Так как строго монотонна, число «e» единственно. 4 Докажем теперь формулу (1).

–  –  –

Поэтому n zn1 и n1. Отсюда, с учетом (4), имеем.

Таким образом,, то есть.4 Теорема 4. Функция (a) совпадает с функцией ln(a)=loge(a).

3Это следует из представления и правила дифференцирования сложной функции4.

Равенство (2) в рассматриваемой схеме изложения доказывается любым известным методом, либо в рамках теории последовательностей, либо, как следствие формулы Тейлора.

Библиографический список

Архипов Г. И., Садовничий В. А. Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999. 695 с.

Бесов О. В. Курс лекций по математическому анализу. М.: Изд-во МФТИ, 2001.

65 с.

Бурбаки Н. Элементы математики. Функции действительного переменного. М.:

Наука, 1965. 424 с.

Гюнтер Н. М., Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей математике. Т. 1. М.–Л.:

ГИТТЛ, 1949. 224 с.

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.:

Наука, 1977. 528 с.

Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. 431 с.

Зорич В. А. Математический анализ. Ч. 1. М.: Наука, 1981. 544 с.

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 1. М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2008. 648 с.

Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс. М.: Изд-во МГУ, 1985. 662 с.

Карташев А. П., Рождественский Б. Л. Математический анализ. СПб.: Лань, 2007. 448 с.

Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т. 1. М.: Высшая школа, 1973. 614 с.

Никольский С. М. Курс математического анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 592 с.

Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976. 320 с.

Степанов С. А. e, число e // Математическая энциклопедия. Т. 2. – М:. Сов.

энциклоп., 1979. С. 396.

Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. М.:

ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория Базовых Знаний, 2007. 672 с.

Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Ч. 1. М.: ГИФМЛ, 1963. 343 с.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1.

М.–Л.: ГИТТЛ, 1951. 696 с.

Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 1,2. М.:

Наука, 1969. 528 с.

Щипачев В. С. Математический анализ. Теория и практика. М.: Дрофа, 2006.

349 с.

Яковлев Г. Н. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 340 с.

Apostol T. M. Calculus. Volume 1. One variable Calculus with an introduction to linear algebga. New York: Wiley & Sons. Inc., 1967. 666 p.

Bartle R. G. The elements of real analysis. New York: Wiley & Sons. Inc., 1964.

447 p.





Похожие работы:

«Филиал ФГБОУВПО НИУ МЭИ в г. Смоленске ТОЭ 22-12 Филиал МЭИ в г. Смоленске Выпуск 1 Изменение 0 Экземпляр №1 Лист 1/20 ПОЛОЖЕНИЕ о кафедре ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ ТОЭ 22-12 Выпуск 1 Смоленск 2012 © филиал МЭИ в г. Смоленске Филиал ФГБОУВПО НИУ МЭИ в г. Смоленске ТОЭ 22-12 Филиал МЭИ в г. Смоленске Выпуск 1 Изменение 0 Экземпляр №1 Лист 2/20 Содержание 1. Общие положения 3 2. Основные задачи 6 3. Функции 9 4. Перечень документов, записей и данных по качеству кафедры 10 5....»

«129 ISSN 0536 – 1036. ИВУЗ. «Лесной журнал». 2008. № 2 УДК 630*79:005.1 В.И. Конков Конков Виктор Иванович родился в 1952 г., окончил в 1979 г. Ленинградский электротехнический институт связи им. М.А. Бонч-Бруевича, в 1992 г. Московский технический университет связи и информатики, кандидат экономических наук, доцент кафедры бухгалтерского учета Института экономики, финансов и бизнеса Архангельского государственного технического университета, генеральный директор аудиторской фирмы. Имеет более...»

«ПРАКТИКА ПРИМЕНЕНИЯ В ЕАЭС ТЕХНИЧЕСКИХ РЕГЛАМЕНТОВ В ОБЛАСТИ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ ПРОДУКЦИИ Начальник отдела ТНиС в электротехнике, радиоэлектронике и энергосбережении БелГИСС, Чаусов В.Н. тел. +375 17 262 88 54 v.chausov@belgiss.by С 2011 года осуществляется переход от традиционного подтверждения соответствия обязательным для исполнения требованиям на основе соответствия требованиям стандартов к соответствию техническим регламентам ТС и ЕАЭС Традиционный подход (до 2011 г.) Переходный период...»

«НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» (ЭЭб) Квалификация – бакалавр Объекты профессиональной деятельности бакалавра: предприятия электроэнергетического комплекса;проектные и научно-исследовательские институты.Бакалавр по направлению будет знать: теоретические основы методов преобразования энергии; технологию производства, передачи и распределения электроэнергии; -.физические явления и процессы в электроэнергетических и электротехнических устройствах и методы их...»

«ТРАНСФОРМАТОРЫ СОДЕРЖАНИЕ 04 Номенклатура оборудования 05 Конструкция трансформаторов 06 Конструкция магнитопровода 08 Обмотка 10 Монтаж магнитопровода и катушки 12 Корпус (бак) трансформатора 13 Система охлаждения 14 Испытания 15 Научные исследования 16 Гарантии качества 18 Мировой опыт Трансформаторы HYUNDAI Electro Electric Systems - подразделение Завод Hyundai в Софии с его более компании Hyundai Heavy Industries - с чем пятидесятилетней историей момента своего образования и в...»





 
2016 www.os.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Научные публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.