WWW.OS.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Научные публикации
 

«В. М. Бухштабер МИАН имени В. А. Стеклова, МГУ имени М. В. Ломоносова, ИППИ имени А. А. Харкевича XV Летняя школа ...»

Разбиения поверхностей на многоугольники

и задачи, пришедшие

из физики, химии и биологии

В. М. Бухштабер

МИАН имени В. А. Стеклова,

МГУ имени М. В. Ломоносова,

ИППИ имени А. А. Харкевича

XV Летняя школа Современная математика

Ратмино, 23 июля 2015 г.

Лекция 1

1/43

В. М. Бухштабер Разбиения поверхностей на многоугольники...

Регулярные разбиения

Разбиение поверхности на многоугольники называется

регулярным, если в каждой вершине сходится только три

ребра, а два многоугольника пересекаются только по ребру.

Комбинаторика таких разбиений это область исследований на пересечении классических и самых современных разделов математики и её приложений.

2/43 В. М. Бухштабер Разбиения поверхностей на многоугольники...

Регулярные разбиения Условие регулярности разбиения сферы позволяет дополнить классическую формулу Эйлера f0 f1 + f2 = 2 формулой (k 6)pk, 3p3 + 2p4 + p5 = 12 + k7 в которую входит вектор (p3,..., pk,...), где pk число k-угольников, входящих в разбиение.

3/43 В. М. Бухштабер Разбиения поверхностей на многоугольники...

Регулярные разбиения Следствия этой формулы нетривиальны. Например, если в регулярном разбиении сферы участвуют только пятиугольники и шестиугольники, то пятиугольников должно быть 12.

4/43 В. М. Бухштабер Разбиения поверхностей на многоугольники...



Фуллерены Результаты по комбинаторике регулярных разбиений поверхностей стали очень актуальными в связи с рядом проблем теоретической и математической физики.

Мы остановимся на задачах, связанных с открытием замечательных молекул углерода фуллеренов (нобелевская премия по химии 1996 года, Р. Кёрл, Х. Крото, Р. Смолли).

Математическая модель фуллерена это поверхность выпуклого многогранника, разбитая на пятиугольники и шестиугольники.

5/43 В. М. Бухштабер Разбиения поверхностей на многоугольники...

Графен Большой толчок в интенсификации исследований в этом направлении дало открытие такой углеродной структуры, как графены (нобелевская премия по физике 2010 года, А. К. Гейм, К. С. Новосёлов).

Математическая модель графена – это плоскость, разбитая на шестиугольники. Графеновая плоскость индуцирует разбиение поверхности тора на шестиугольники.

–  –  –

Доклад подготовлен совместно с Н. Ю. Ероховцом, кафедра высшей геометрии и топологии, МГУ имени М. В. Ломоносова.

Я благодарю Г. А. Мерзона за помощь в подготовке слайдов этих лекций.

–  –  –

Только 5 тел обладают следующими свойствами:

Выпуклые многогранники.

Все грани одинаковые правильные многоугольники.

Для любой пары вершин существует симметрия многогранника, переводящая одну вершину другую.

–  –  –

Полуправильные многогранники обладают следующими свойствами:

Выпуклые многогранники.

Все грани правильные многоугольники двух или более типов.

Для любой пары вершин существует симметрия многогранника, переводящая одну вершину другую.

–  –  –

Из 13 архимедовых тел 11 с многоугольниками 2 типов и 2 с многоугольниками 3 типов.

Курносые куб и додекаэдр имеют две версии (левую и правую), которые получаются одна из другой отражением относительно плоскости и не могут быть совмещены движением, сохраняющим ориентацию пространства.

–  –  –

Плоскость R2 может быть замощена правильными шестиугольниками.

Схематическое изображение графена. Узлы атомы углерода, а рбра связи, удерживающие атомы в листе графена.

е

–  –  –

Графен (англ. graphene) двумерная модификация углерода, образованная слоем атомов углерода толщиной в один атом.

Обладает уникальными электрофизическими свойствами.

–  –  –

Модификации углерода: алмаз, графит, фуллерен, карбин, графен, углеродные нанотрубки, лонсдейлит и др.

Наиболее многочисленны молекулярные структуры фуллеренов и нанотрубок.

–  –  –

Астрономы обнаружили заранее предсказанные характерные спектральные линии фуллеренов в космосе в атмосферах углеродных звезд.

Затем и на Земле удалось их получить в пламени электрической дуги.

Долгое время фуллерены получали только в лабораториях научных центров.

К 1992 году стало известно, что в водорастворимой части шунгита содержится до одного процента фуллеренов.

–  –  –

Разбиение замкнутой (то есть без края) двумерной поверхности на многоугольники называется простым, если в каждой вершине сходится ровно три ребра.

Для простого разбиения двумерной поверхности имеем

–  –  –

Следствие Пусть существует простое разбиение поверхности M 2 на шестиугольники.

Тогда (M 2 ) = 0, то есть M 2 тор или бутылка Клейна.

Не существует разбиения тора или бутылки Клейна на многоугольники такого, что pk = 0 для всех k 5.

–  –  –

Определение Фуллереном называется простой трхмерный многогранник, е у которого все двумерные грани являются пятиугольниками или шестиугольниками.

Для любого фуллерена имеем p5 = 12,

–  –  –

Перестройка Эндо-Крото увеличивает p6 на 1.

При помощи последовательности перестроек Эндо-Крото из бочки можно получить фуллерен с любым p6 = k, k 2.

–  –  –

Комбинаторно неэквивалентные фуллерены с одинаковым p6 называются изомерами.

Пусть F (p6 ) число изомеров с данным p6. Известно, что F (p6 ) = O(p6 ).

Имеется эффективный алгоритм перечисления комбинаторных типов фуллеренов (Бринкман, Дресс, 1997).

–  –  –

Определение Фуллерен называется IPR-фуллереном (Isolated Pentagon Rule), если у него нет пятиугольников с общим ребром.

Пусть P некоторый IPR-фуллерен. Тогда p6 20.

IPR-фуллерен с p6 = 20 комбинаторно эквивалентен бакминстерфуллерену C60.

–  –  –

V.M. Buchstaber, V.D. Volodin, Combinatorial 2-truncated cubes and applications, Associahedra, Tamari Lattices, and Related Structures, Tamari Memorial Festschrift, Progress in Mathematics, 299, Birkhaser,Basel, 2012, 161–186.

u М. Деза, М. Дютур Сикирич, М.И. Штогрин, Фуллерены и диск-фуллерены, УМН, 68:4(412) (2013), 69–128.

В.М.Бухштабер, Н.Ю.Ероховец, Усечения простых многогранников и приложения, Труды МИАН им. В.А.Стеклова, т. 289, 2015, 115–144.

–  –  –



Похожие работы:

«КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Кафедра системного анализа и информационных технологий А.А. АНДРИАНОВА, Р.Ф. ХАБИБУЛЛИН ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Учебно-методическое пособие Казань – 2015 УДК 519.83 ББК 22.18 Принято на заседании кафедры системного анализа и информационных технологий Протокол № 7 от 14 апреля 2015 года Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор кафедры анализа данных и исследования...»

«МО СКОВСКИЙ ГО СУДАР СТВЕННЫЙ УНИВЕР СИТЕТ имени М.В. ЛОМОНО СОВА Факультет почвоведения Л. Г. Богатырев Основные концепции, законы и принципы современного почвоведения Монография МОСКВА — 2015 УДК 631.4 ББК 40.3 Б73 Рекомендовано Учебно-методическим Советом по почвоведению при УМО по классическому университетскому образованию РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению высшего профессионального образования 021900 «Почвоведение» Рецензенты:...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ОАО НПФ «Геофизика» Кафедра гуманитарных наук Тема реферата: «РАЗРАБОТКА ТЕОРИИ ИЗОСТАЗИИ» Научный руководитель: д.т.н. с.н.с. Янтурин А.Ш. Выполнил: аспирант Асмандияров А.И.Реферат проверил: УФА 2015 Содержание Введение 1. История открытия изостазии 2. Гипотеза Пратта 3. Гипотеза Эри 4. Изостатические редукции и аномалии 5. Изостазия в глубинных слоях Земли 6. Гляциоизостатические движения Заключение Введение Наблюдения силы тяжести на земной поверхности...»

«See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/261287193 Carbon encapsulation of magnetic metal nanoparticles: Correlation between nanoscale structure of carbon matrix and electromagnetic properties ARTICLE in JOURNAL OF PHYSICS CONFERENCE SERIES · DECEMBER 2014 DOI: 10.1088/1742-6596/572/1/012024 READS 6 AUTHORS, INCLUDING: Sergey Kozyrev Vladimir ivanov-omskii Peter the Great St. Petersburg Polytechnic....»

«Ф.М. КАНАРЁВ МОНОГРАФИЯ МИКРОМИРА Монография Модель атома алмаза.2015 Канарёв Ф.М. Монография микромира. «Монография микромира» построена на новой совокупности фундаментальных аксиом Естествознания, которые позволили выявить неисчислимое количество ошибок в ортодоксальных «точных» науках: физике и химии. Исправление этих ошибок привело к новой теории микромира, которая открывает перед человечеством необозримые научные перспективы в решении глобальных экологических и энергетических проблем....»





Загрузка...


 
2016 www.os.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Научные публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.